Matemáticos, códigos y obsesiones que rozaron el límite humano · Historia 03

Georg Cantor: el hombre que descubrió que unos infinitos son mayores que otros

El matemático que convirtió el infinito en una jerarquía cambió para siempre los fundamentos de la matemática.

Durante siglos, el infinito había sido una frontera filosófica: podía
imaginarse como un proceso que nunca terminaba, pero no como un objeto
que pudiera medirse, compararse o someterse a cálculos. Entonces Georg
Cantor afirmó algo que parecía imposible: no existe un solo infinito.
Hay infinitos de diferentes tamaños y, después de cada uno, siempre
puede construirse otro mayor.

La idea transformó las matemáticas, provocó una violenta resistencia
intelectual y condujo a Cantor hacia un problema que nunca pudo
resolver. En sus últimos años, mientras sus teorías comenzaban a ser
aceptadas, alternó las investigaciones matemáticas con hospitalizaciones
psiquiátricas, reflexiones religiosas y una obsesión inesperada:
demostrar que Francis Bacon había escrito las obras atribuidas a
Shakespeare.

Cantor consiguió ordenar el infinito, pero pasó buena parte de su
vida enfrentándose a todo aquello que no podía controlar.

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Una pieza que sobrevivió a la historia

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El artículo de 1874 conserva la demostración con la que Cantor separó por primera vez dos tamaños de infinito y abrió una nueva era para la teoría de conjuntos.

Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen ZahlenJournal für die reine und angewandte Mathematik1874Vol. 77, pp. 258–262

Colección

European Digital Mathematics Library

Institución

EuDML

Registro digital del artículo fundacional de Cantor.

Un
violinista obligado a estudiar ingeniería

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor nació el 3 de marzo de 1845 en
San Petersburgo, dentro de una familia de comerciantes y músicos. Su
padre, Georg Woldemar Cantor, era un exitoso corredor de bolsa; su
madre, Maria Anna Böhm, procedía de una familia de músicos. El joven
Georg heredó ese ambiente artístico y llegó a convertirse en un
violinista competente (Dauben, 1979).

Cuando tenía once años, la familia se trasladó a Alemania debido a la
salud de su padre. Cantor mostró una capacidad excepcional para las
matemáticas, pero su padre prefería que estudiara ingeniería, una
profesión que consideraba más segura. En 1862, después de insistir en su
verdadera vocación, obtuvo permiso para dedicarse a las matemáticas.

Estudió en la Universidad de Zúrich y después en Berlín, donde
recibió clases de figuras como Karl Weierstrass, Ernst Kummer y Leopold
Kronecker. En 1867 obtuvo el doctorado con una investigación sobre
teoría de números. Dos años más tarde comenzó a trabajar en la
Universidad de Halle, institución en la que permanecería durante
prácticamente toda su carrera (Dauben, 1979).

Cantor aspiraba a ocupar algún día una cátedra en Berlín, el gran
centro matemático alemán. Nunca lo consiguió. Aquella frustración se
entrelazaría con su conflicto intelectual y personal con Kronecker.

El problema
que abrió la puerta al infinito

Las primeras investigaciones de Cantor no trataban directamente sobre
conjuntos infinitos. Estudiaba series trigonométricas y el problema de
determinar cuándo una función podía representarse de manera única
mediante ellas. El análisis de los puntos excepcionales lo condujo hacia
colecciones de números y, finalmente, hacia una nueva forma de pensar
las totalidades infinitas (Ferreirós, 2007).

El paso decisivo consistió en comparar conjuntos sin contar sus
elementos uno por uno. Dos conjuntos tienen el mismo tamaño —la misma
cardinalidad— cuando es posible establecer una correspondencia uno a uno
entre sus miembros.

Esto produce resultados desconcertantes. Los números naturales —1, 2,
3, 4…— forman un conjunto infinito. Los números pares —2, 4, 6, 8…—
parecen ser solamente una parte de ellos. Sin embargo, cada número
natural puede emparejarse con un número par multiplicándolo por dos. Por
tanto, ambos conjuntos tienen el mismo tamaño infinito.

La idea ya había aparecido en discusiones anteriores sobre el
infinito, pero Cantor la convirtió en una herramienta matemática
sistemática. Lo verdaderamente revolucionario llegó cuando demostró que
no todos los conjuntos infinitos pueden emparejarse de esa manera.

En 1874 publicó una prueba de que los números algebraicos podían
enumerarse, mientras que los números reales no podían incluirse en una
lista completa. Había descubierto que el continuo numérico era un
infinito mayor que el de los números naturales (Cantor, 1874/1996).

El infinito había dejado de ser una sola inmensidad
indiferenciada.

La diagonal que siempre
escapa

En 1891, Cantor presentó una demostración especialmente elegante de
la no numerabilidad de los números reales. El argumento, conocido como
método diagonal, supone que todos los números reales entre cero y uno
han sido colocados en una lista infinita.

Cantor construye entonces un nuevo número modificando la primera
cifra decimal del primer número, la segunda cifra del segundo, la
tercera del tercero y así sucesivamente. El número resultante difiere
del primero en su primera cifra, del segundo en la segunda y de cada
elemento de la lista en al menos una posición.

Por tanto, el nuevo número no aparece en la lista que supuestamente
contenía todos los números reales.

No importa cómo se organice la lista: siempre puede construirse un
número que escape de ella. Los números reales son incontables; los
naturales, contables. Ambos conjuntos son infinitos, pero uno es
estrictamente mayor que el otro (Ferreirós, 2007).

La diagonalización se convertiría en una de las técnicas más
poderosas del pensamiento moderno. Variaciones de su estructura
aparecerían posteriormente en la lógica matemática, los teoremas de
incompletitud de Kurt Gödel y los fundamentos teóricos de la
computación.

Cantor no había descubierto solamente un resultado. Había creado una
forma de revelar los límites de cualquier sistema que pretendiera
contenerlo todo.

Aleph: una
escalera sin último peldaño

Para representar los tamaños infinitos, Cantor introdujo los números
cardinales transfinitos y utilizó la letra hebrea álef. El tamaño del
conjunto de los números naturales recibió el símbolo ℵ₀ —álef cero—.

También demostró que, dado cualquier conjunto, el conjunto formado
por todos sus subconjuntos tiene una cardinalidad mayor. Este resultado,
conocido como teorema de Cantor, implica que no existe un infinito
máximo. Para cada tamaño infinito puede construirse otro superior
(Cantor, 1891/1996).

La conclusión era vertiginosa: los infinitos no formaban un caos,
sino una jerarquía sin final.

Cantor también desarrolló números ordinales transfinitos para
describir posiciones y órdenes que continuaban más allá de cualquier
secuencia finita. Para él, aquellas entidades no eran simples símbolos
convenientes. Poseían una realidad matemática legítima.

Muchos contemporáneos consideraron que había cruzado una frontera
prohibida. El infinito actual —una totalidad infinita completa— había
sido tratado tradicionalmente con sospecha. Cantor, en cambio, lo
introducía dentro de las matemáticas y comenzaba a operar con él.

Kronecker y
la guerra por lo que podía existir

Leopold Kronecker aceptaba los números enteros y los procedimientos
que podían construirse mediante una cantidad finita de pasos.
Desconfiaba de las entidades matemáticas abstractas que no podían
obtenerse de esa forma. Las ideas de Cantor representaban casi todo
aquello que rechazaba.

Kronecker formaba parte del consejo editorial de Crelle’s
Journal, una publicación fundamental para los matemáticos alemanes.
Cuando Cantor presentó en 1877 un artículo que demostraba una
correspondencia sorprendente entre espacios de distintas dimensiones,
Kronecker se opuso a sus métodos y la publicación se retrasó hasta 1878
(Dauben, 1979).

La disputa fue profunda, pero la imagen popular de Kronecker como
único responsable de las crisis de Cantor simplifica demasiado la
historia. Cantor percibía sus críticas como una campaña personal y creía
que Kronecker obstaculizaba su traslado a Berlín. Sin embargo, sus
dificultades profesionales, familiares y psicológicas tuvieron múltiples
causas, y no puede establecerse una relación médica directa entre una
discusión matemática y su enfermedad (Grattan-Guinness, 1971).

La primera crisis grave documentada ocurrió en 1884. Cantor atravesó
periodos de depresión, excitación y agotamiento que se repitieron
durante el resto de su vida. Algunos historiadores han sugerido que pudo
padecer un trastorno bipolar, pero realizar un diagnóstico retrospectivo
definitivo no es posible.

Sus hospitalizaciones no demuestran que estudiar el infinito lo
volviera loco. Esa interpretación romántica confunde la enfermedad de un
hombre con el contenido de su obra.

El problema que
no consiguió resolver

Después de demostrar que los números naturales y los reales poseen
diferentes cardinalidades, Cantor formuló una pregunta inevitable:
¿existe un conjunto cuyo tamaño sea mayor que el de los naturales, pero
menor que el de los reales?

Cantor creía que no. Esta afirmación se conocería como la hipótesis
del continuo. Intentó demostrarla durante años y en diferentes momentos
creyó haber encontrado una solución, solo para descubrir errores en sus
argumentos (Dauben, 1979).

En 1900, David Hilbert colocó la hipótesis del continuo en el primer
lugar de su célebre lista de problemas para las matemáticas del siglo
XX. Cantor murió sin saber que el problema no podía resolverse mediante
las herramientas axiomáticas que llegarían a convertirse en
estándar.

En 1940, Kurt Gödel demostró que la hipótesis no podía refutarse a
partir de los axiomas habituales de la teoría de conjuntos, suponiendo
que estos fueran consistentes. En 1963, Paul Cohen demostró que tampoco
podía probarse dentro de ese sistema. En conjunto, ambos resultados
establecieron que la hipótesis del continuo es independiente de los
axiomas de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección (Moore, 1982).

Cantor había intentado abrir una puerta que, dentro de aquel edificio
matemático, no podía abrirse ni cerrarse.

Un
hecho poco conocido: buscó a Shakespeare dentro de Francis
Bacon

Durante sus periodos de menor productividad matemática, Cantor dedicó
una energía considerable a la llamada cuestión Shakespeare-Bacon. Estaba
convencido de que Francis Bacon había escrito las obras atribuidas a
William Shakespeare y trató de demostrarlo mediante comparaciones
textuales, cronologías e interpretaciones históricas (Dauben, 1979).

La teoría carecía de respaldo entre los especialistas, pero Cantor
regresaba repetidamente a ella. También investigó posibles conexiones
entre los dramas de Shakespeare y autores como Christopher Marlowe.

Esta obsesión no debe utilizarse para desacreditar automáticamente
sus matemáticas. Sus demostraciones sobre conjuntos y cardinalidades
podían comprobarse independientemente de sus convicciones literarias.
Pero el episodio revela una característica constante de su personalidad:
la necesidad de encontrar una estructura oculta capaz de explicar
aquello que los demás aceptaban sin cuestionar.

En el infinito encontró una jerarquía matemática auténtica. En
Shakespeare creyó encontrar una identidad secreta que no existía.

Entre las matemáticas y
Dios

Cantor era profundamente religioso. Distinguía entre el infinito
absoluto, que asociaba exclusivamente con Dios, y los infinitos
transfinitos, que podían estudiarse matemáticamente. Temía que sus ideas
fueran interpretadas como una invasión del territorio teológico y
mantuvo correspondencia con pensadores y autoridades católicas para
explicar que los números transfinitos no competían con la infinitud
divina (Dauben, 1977).

Aunque no era católico, encontró entre algunos teólogos neotomistas
una recepción más abierta que la ofrecida por ciertos matemáticos.
Cantor llegó a considerar que el desarrollo de la teoría de conjuntos
formaba parte de una misión que le había sido confiada.

Sus creencias religiosas influyeron en la interpretación filosófica
que daba a sus descubrimientos, pero la validez de sus resultados no
dependía de ellas. Esta separación resulta esencial: las motivaciones
personales pueden inspirar una teoría; las demostraciones determinan si
pertenece a las matemáticas.

El
paraíso construido por un hombre atormentado

A comienzos del siglo XX, la teoría de conjuntos comenzó a ocupar un
lugar central en los fundamentos de las matemáticas. También aparecieron
paradojas que obligaron a reformularla mediante sistemas axiomáticos más
rigurosos. Cantor había abierto un territorio inmenso, aunque otros
tendrían que construir caminos seguros dentro de él.

David Hilbert defendió su legado con una frase que se volvió célebre:
nadie debía expulsar a los matemáticos del paraíso creado por Cantor
(Hilbert, 1926/1967).

Cantor pasó sus últimos años entre su hogar y clínicas psiquiátricas.
La Primera Guerra Mundial agravó las privaciones y el aislamiento. Murió
el 6 de enero de 1918 en una institución de Halle, a los setenta y dos
años.

No vivió para presenciar hasta qué punto su lenguaje transformaría la
matemática, la lógica y la informática. Conceptos como conjunto,
cardinalidad, correspondencia y diagonalización se convirtieron en
partes esenciales del pensamiento moderno.

Cantor llegó al límite humano porque intentó medir aquello que
parecía no admitir medida. Descubrió que el infinito no era el final de
los números, sino el comienzo de una nueva aritmética.

Y demostró algo todavía más inquietante: por inmenso que sea un
sistema, siempre puede existir algo que quede fuera de él.

Referencias
bibliográficas

Cantor, G. (1996). On a property of the collection of all real
algebraic numbers. En W. Ewald (Ed.), From Kant to Hilbert: A source
book in the foundations of mathematics (Vol. 2, pp. 839–843).
Oxford University Press. (Trabajo original publicado en 1874).

Cantor, G. (1996). On an elementary question in the theory of
manifolds. En W. Ewald (Ed.), From Kant to Hilbert: A source book in
the foundations of mathematics (Vol. 2, pp. 920–922). Oxford
University Press. (Trabajo original publicado en 1891).

Dauben, J. W. (1977). Georg Cantor and Pope Leo XIII: Mathematics,
theology, and the infinite. Journal of the History of Ideas,
38(1), 85–108.

Dauben, J. W. (1979). Georg Cantor: His mathematics and
philosophy of the infinite. Harvard University Press.

Ferreirós, J. (2007). Labyrinth of thought: A history of set
theory and its role in modern mathematics (2.ª ed.).
Birkhäuser.

Grattan-Guinness, I. (1971). Towards a biography of Georg Cantor.
Annals of Science, 27(4), 345–391.

Hilbert, D. (1967). On the infinite. En J. van Heijenoort (Ed.),
From Frege to Gödel: A source book in mathematical logic,
1879–1931 (pp. 367–392). Harvard University Press. (Trabajo
original publicado en 1926).

Moore, G. H. (1982). Zermelo’s axiom of choice: Its origins,
development, and influence. Springer-Verlag.